100 Problemas por José Paulo Viana
Clube de Matemática SPM - Eixos de Opinião fevereiro de 2017
Publicado a 17 de Fevereiro de 2017


100 Problemas por José Paulo Viana - Heron & Brahmagupta

Clube de Matemática SPM - Eixos de Opinião fevereiro de 2017                                                         

Clube de Matemática SPM


Título: HERON & BRAHMAGUPTA




Heron foi um matemático grego que terá vivido no século I da nossa era, embora alguns autores o situem no século III e outros até no século II antes de Cristo. Ficou famoso por alguns resultados, o principal dos quais é a fórmula para a área de um triângulo, conhecidos os seus lados a, b e c. Isto dá muito jeito porque nos evita ter de calcular a altura do triângulo. 


Então, se s for o semiperímetro, ou seja, s=1/2 (a+b+c), será

 

Triângulos de Heron


Os triângulos de Heron são aqueles em que as medidas dos lados e da área são números inteiros.


Todos os triângulos cujos lados formam um terno pitagórico são de Heron. Mas há outros que não são triângulos retângulos e que são de Heron.


Eis alguns dos primeiros triângulos de Heron, ordenados por área (a área aparece entre parêntesis). Incluímos apenas os primitivos, isto é, aqueles em que as medidas dos lados não têm nenhum fator comum (isto é, são primos entre si).


 


A partir destes, podemos arranjar mais outros. Basta multiplicar os lados por um número inteiro.




Triângulos de Brahmagupta


Brahmagupta foi um matemático e astrónomo indiano que viveu no século VII. Num dos seus trabalhos, fez uma investigação sobre os triângulos de Heron cujas medidas de lados fossem números consecutivos.


Conseguiu encontrar oito, que ficaram conhecidos por triângulos de Brahmagupta:


 


Quadriláteros de Brahmagupta


Os quadriláteros inscritos numa circunferência chamam-se cíclicos.


Brahmagupta deduziu uma fórmula muito simpática para a área dos quadriláteros cíclicos. 



Sejam a, b, c  e d  as medidas dos seus lados e  s=1/2 (a+b+c+d)  o seu semiperímetro. Então:



Os quadriláteros de Brahmagupta são os quadriláteros cíclicos em que as medidas dos lados, das diagonais e da área são números inteiros.


Há uns quadriláteros de Brahmagupta fáceis de encontrar. São os retângulos em que os seus lados são os primeiros termos de um terno pitagórico. Eis alguns exemplos, com a indicação das medidas dos quatro lados, depois das duas diagonais e seguir da área:




Mas há outros mais. Por exemplo, estes trapézios isósceles:




Para terminar, uma curiosidade. Para um dado conjunto de quatro medidas de lados, há uma infinidade de quadriláteros possíveis. Desses, o que tem maior área é cíclico.


Fontes:
http://www.maa.org/sites/default/files/pdf/mathdl/CMJ/methodoflastresort.pdf
https://en.wikipedia.org/wiki/Heronian_triangle
http://docserver.carma.newcastle.edu.au/785/1/cyclic_poly.pdf
http://forumgeom.fau.edu/FG2002volume2/FG200221.pdf
https://en.wikipedia.org/wiki/Cyclic_quadrilateral#Brahmagupta_quadrilaterals