(U)Ma Temática Elementar - José C. Santos
Clube de Matemática SPM - Novembro de 2017
Publicado a 21 de Novembro de 2017

 


A Matemática elementar tem muito que se lhe diga. Embora nos seja familiar, é sempre possível encará-la de um ponto de vista novo ou inesperado.                                                       

José Carlos Santos - Departamento de Matemática da FCUP                                              


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(U)Ma Temática Elementar por José Carlos Santos - Porque é que os matemáticos fazem demonstrações

Clube de Matemática SPM - Novembro de 2017

 

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Título: Porque é que os matemáticos fazem demonstrações?


Vamos considerar dois problemas que estão por resolver.


Conjectura de Goldbach: É ou não verdade que qualquer número par (excepto 2) pode ser escrito com a soma de dois números primos? Esta conjectura já foi abordada nesta coluna. O que não foi aí dito foi que já está confirmado por computador que a conjectura é verdadeira para números até 4×1018. Já agora, isto foi feito por um português: Tomás Oliveira e Silva, da Universidade de Aveiro.

Conjectura de Collatz: Peguemos num número. Se for par, calculamos a sua metade; caso contrário, multiplicámo-lo por 3 e somamos 1 ao resultado desta operação. Depois recomeçamos. Se fizermos isto um número suficientemente grande de vezes, iremos acabar sempre por chegar ao número 1? Parece que sim. Aliás, isto já foi confirmado (mais uma vez, recorrendo a computadores) para todos os números até 87×260.

O facto de estes problemas estarem resolvidos até valores tão astronomicamente grandes leva muita gente a não compreender o que porque é que os matemáticos os encaram como problemas em aberto. Que mais é que é preciso para que se convençam de que os problemas estão resolvidos?

Para compreender a resposta, consideremos o seguinte problema: se n é um número natural, os números n17 + 1 e (n + 1)17 + 1 são primos entre si? Se n = 1, o que se está a perguntar é se 2 e 131 073 são primos entre si (são). Se n = 2, o que se está a perguntar é se 131 073 e 129 140 164 são primos entre si (também são). Será que é sempre assim? De facto não, mas o primeiro caso em que isto falha é quando

n = 8 424 432 925 592 889 329 288 197 322 308 900 672 459 420 460 792 433.

É por isto que os matemáticos não se contentam em verificar muitos casos para se convencerem de que algo ocorre sempre. Vamos ver mais dois exemplos; um terceiro exemplo já tinha sido visto aqui.

A cada número natural n > 1, vamos associar dois números:


   P (n) : o número de números menores ou iguais a n em cuja decomposição em factores primos surge um número par de factores;

   I (n) : o número de números menores ou iguais a n em cuja decomposição em factores primos surge um número ímpar de factores.

Por exemplo, ( 6) = (6), porque há 3 números naturais menores ou iguais a 6 em cuja decomposição em factores primos surge um número par de factores primos: 1 (0 primos), 4 (= 2×2) e 6 (= 2×3) e há 3 números naturais menores ou iguais a 6 em cuja decomposição em factores primos surge um número par de primos: 2, 3 e 5. Portanto, (6) =(6). Mas, (7) < (7), porque o novo número (7) é primo e, portanto, só tem um factor na sua decomposição em factores primos.

Em 1919, George Pólya conjecturou que se tem sempre P(n) < I(n) e verificou que isto é verdade até 1500. Mas, em 1962, Derrick Henry Lehmer provou que (906 180 359) > (906 180 359).

A fim de vermos o nosso último exemplo, é preciso considerar a função µ, que se define assim:


    • se n for um número natural que não se pode exprimir como produto de números primos distintos, µ(n) = 0;

 
    • se n for um número natural que se pode exprimir como o produto de um número par de números primos distintos, µ(n) = 1; 

  

    • se n for um número natural que se pode exprimir como o produto de um número ímpar de números primos distintos, µ(n) = –1.

No fim do século XIX, surgiu a conjectura de Mertens: para cada número natural n, o número

|µ (1) + µ (2) + µ (3) + … + µ (n)|2

é menor ou igual a n. Sabe-se desde 1985 que a conjectura é falsa, mas ainda ninguém conseguiu fornecer nenhum contra-exemplo. Sabe-se somente que tem que existir um com não mais do que 40 algarismos na sua expansão decimal…

E é por isto que os matemáticos fazem demonstrações. Porque, por mais casos que se verifiquem, pode sempre aparecer algo de novo mais lá para a frente.