Diagonais por Rui Gonçalves
Matemática - Clube de SPM - Fevereiro de 2018
Publicado a 12 de Fevereiro de 2018



 


“Diagonais é uma rubrica onde se falará da aprendizagem da matemática. Serão alvo de análise os dois últimos anos do ensino secundário e as cadeiras da área científica de matemática nos dois primeiros anos dos cursos de Engenharia. Abordaremos também temas relacionados, como os programas e a metodologia seguida na aprendizagem da matemática nos cursos superiores de Engenharia.”                                      


Rui Gonçalves -  Professor de Matemática da FEUP. Membro Integrado do Laboratório de Inteligência                              Artificial e de Apoio à Decisão - LIAAD INESC TEC                                                  



Diagonais por Rui Gonçalves - Gráficos de Polinómios e Funções Racionais

Matemática - Clube de SPM - Fevereiro de 2018 

 

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Título: Gráfico de Polinómios e Funções Racionais


No ensino secundário quando se estuda o gráfico de funções reais de variável real seria interessante falar numa importante família de funções, os polinómios cujo estudo do gráfico não implica, por exemplo, o uso de derivadas.

Nessa altura já o estudante está familiarizado com o comportamento assintótico de potências da forma xn. Assim, para a função xn quando x tende para mais infinito o limite é mais infinito e quando x tender para menos infinito o limite é, menos infinito se n for impar e mais infinito se for par.

E o resto? Bem, abordaremos apenas o caso em que as raízes são conhecidas.

Neste passo o estudante deve recordar os gráficos das funções simples, o x, o x2 o xque eles já estão fartos de ver. Como se comporta localmente o gráfico de um polinómio na vizinhança destas raízes? A intuição e o conhecimento adquirido levam-nos logo a dizer que nas raízes de grau impar o gráfico do polinómio atravessa o eixo das abcissas pois muda de sinal e no grau par não ocorre essa mudança. 

De seguida, sabendo o estudante que num número entre 0 e 1, elevá-lo a um expoente inteiro de ordem superior 1 este vai aproximar-se de zero, ou seja, quanto maior o expoente mais próximo de zero ele fica. Assim esboçar o gráfico de x4, x6, … e também o de x5, x7, etc… é uma trivialidade.

Agora, mesmo sem usar derivação, estamos nas condições de desenhar o gráfico de qualquer polinómio. 

Por exemplo, o polinómio f(x)=x(x-1)3 (x+1)2, é de grau 6, logo, em ambos os extremos, o gráfico vai para mais infinito. A primeira raiz  a aparecer é x=-1 e o grau da raiz é par logo, não há atravessamento do eixo dos xx, e o gráfico é localmente igual ao da função g(x)=x2, a nossa conhecida parábola. A raiz seguinte é x=0 e o grau é impar logo o gráfico atravessa o eixo dos xx mas não há inflexão, sabemos isso do gráfico de g(x)=x.

A raiz seguinte é x=1 e o grau é 3 então existe uma inflexão e o gráfico atravessa o eixo dos xx.

A seguir não há mais zeros e, portanto, o gráfico segue a direção assintótica à direita. 

O leitor pode agora tentar fazer outros gráficos de polinómios. 

Deixamos agora ao cuidado do leitor o gráfico da função racional que resulta de fazer o inverso deste polinómio, h(x)=1/(x(x-1)3 (x+1)2) e já agora, de todas as funções racionais com pólos conhecidos. 

Um abraço e até ao mês que vem.